Номер 34, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 34, страница 68.

Условие.

7.34. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота – 32 см. Прямоугольник $ABCD$ расположен так, что его вершины $A$ и $D$ лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины $B$ и $C$ – на окружности верхнего основания. Сторона $AD$ в 4 раза меньше стороны $AB$. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим стороны прямоугольника $ABCD$ как $AD$ и $AB$. Пусть длина стороны $AD = w$, а длина стороны $AB = l$. По условию задачи, сторона $AD$ в 4 раза меньше стороны $AB$, что можно записать как $l = 4w$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = AB \cdot AD = l \cdot w$.

Вершины $A$ и $D$ прямоугольника лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины $B$ и $C$ — на окружности верхнего основания. Рассмотрим проекцию прямоугольника $ABCD$ на плоскость нижнего основания. Пусть $B'$ — это проекция точки $B$ на эту плоскость. Тогда отрезок $BB'$ перпендикулярен плоскости нижнего основания и его длина равна высоте цилиндра $H$, то есть $BB' = H = 32$ см. Треугольник $ABB'$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $AB'$ и $BB'$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны ($AB \perp AD$). Так как $AD$ лежит в плоскости нижнего основания, а $BB'$ перпендикулярна этой плоскости, то $AD \perp BB'$. Из перпендикулярности $AD$ двум пересекающимся прямым $AB'$ и $BB'$ в плоскости $ABB'$ следует, что $AD$ перпендикулярна всей плоскости $ABB'$, и, в частности, $AD \perp AB'$. Таким образом, проекция $AB'C'D$ прямоугольника $ABCD$ на нижнее основание также является прямоугольником.

Вершины $A$ и $D$ лежат на окружности нижнего основания. Поскольку вершина $B$ лежит на окружности верхнего основания, расстояние от неё до оси цилиндра равно радиусу $R$. Её проекция $B'$ на нижнее основание будет удалена от оси на то же расстояние, а значит, точка $B'$ также лежит на окружности нижнего основания. Аналогично, проекция $C'$ точки $C$ лежит на той же окружности.

Следовательно, проекция $AB'C'D$ — это прямоугольник, вписанный в окружность нижнего основания. Его диагональ, например $DB'$, равна диаметру этой окружности, то есть $DB' = 2R = 2 \cdot 13 = 26$ см.

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя теорему Пифагора. 1. Из прямоугольного треугольника $ADB'$ (вписанного в нижнее основание): $AD^2 + (AB')^2 = (DB')^2 \implies w^2 + (AB')^2 = (2R)^2$ 2. Из прямоугольного треугольника $ABB'$ (который является "вертикальным сечением"): $(AB')^2 + (BB')^2 = AB^2 \implies (AB')^2 + H^2 = l^2$

Подставим известные значения $R=13$ см и $H=32$ см: 1. $w^2 + (AB')^2 = 26^2 = 676$ 2. $(AB')^2 + 32^2 = l^2 \implies (AB')^2 + 1024 = l^2$

Выразим $(AB')^2$ из первого уравнения: $(AB')^2 = 676 - w^2$. Подставим это выражение во второе уравнение: $(676 - w^2) + 1024 = l^2$ $1700 = l^2 + w^2$

Теперь используем условие $l = 4w$: $(4w)^2 + w^2 = 1700$ $16w^2 + w^2 = 1700$ $17w^2 = 1700$ $w^2 = 100$ $w = 10$ см (так как длина стороны — положительная величина).

Зная $w$, находим $l$: $l = 4w = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Наконец, вычисляем площадь прямоугольника $ABCD$: $S = l \cdot w = 40 \cdot 10 = 400$ см$^2$.

Ответ: 400 см$^2$.