Номер 31, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 31, страница 67.

Условие.

7.31. Прямоугольник $MM_1N_1N$ – сечение цилиндра, параллельное его оси. На окружностях оснований цилиндра по разные стороны от данного сечения выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 7.18). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 7.16

$O_1$, $B$, $A$, $O$

Рис. 7.17

$A$, $M_1$, $N_1$, $M$, $B$, $N$

Рис. 7.18

$A$, $N_1$, $M_1$, $M$, $N$, $B$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение:

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью сечения $MM_1N_1$ воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм построения следующий:

1. Построим проекцию точки $A$, лежащей на окружности верхнего основания, на плоскость нижнего основания. Обозначим эту проекцию $A'$. Так как цилиндр прямой, отрезок $AA'$ является образующей цилиндра. По условию, сечение $MM_1N_1N$ параллельно оси цилиндра, следовательно, образующие $MM_1$ и $NN_1$ также параллельны оси. Таким образом, $AA' \parallel MM_1$.

2. Через прямую $AB$ проведем вспомогательную плоскость. Удобно выбрать плоскость, проходящую через точки $A$, $B$ и $A'$. Обозначим эту плоскость $\alpha = (ABA')$. Эта плоскость пересекает плоскость нижнего основания по прямой $A'B$.

3. Плоскость сечения $(MM_1N_1)$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $MN$.

4. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $\alpha$ и плоскости сечения $(MM_1N_1)$. Для этого сначала найдем точку пересечения их следов на плоскости нижнего основания. Поскольку точки $A$ и $B$ по условию лежат по разные стороны от сечения, их проекции на нижнее основание ($A'$ и $B$) также будут лежать по разные стороны от прямой $MN$. Следовательно, прямая $A'B$ пересечет прямую $MN$. Обозначим точку их пересечения буквой $K$. Точка $K$ принадлежит обеим плоскостям: $\alpha$ и $(MM_1N_1)$.

5. Так как обе плоскости, $\alpha = (ABA')$ и $(MM_1N_1)$, содержат прямые, параллельные оси цилиндра ($AA'$ и $MM_1$ соответственно), то сами плоскости параллельны оси цилиндра. Линия их пересечения также будет прямой, параллельной оси цилиндра (и, следовательно, параллельной $MM_1$). Проведем через точку $K$ прямую $l$ так, что $l \parallel MM_1$. Прямая $l$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $(MM_1N_1)$.

6. Искомая точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$ должна лежать на прямой $AB$ и в плоскости $(MM_1N_1)$. Поскольку прямая $AB$ полностью лежит во вспомогательной плоскости $\alpha$, искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $(MM_1N_1)$, то есть на прямой $l$.

7. Таким образом, искомая точка $X$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $l$. Так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, они пересекаются (в общем случае). Построив эту точку, мы найдем решение задачи.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $AB$ и прямой $l$, где $l$ построена следующим образом: $A'$ — проекция $A$ на нижнее основание, $K$ — точка пересечения прямых $A'B$ и $MN$, а прямая $l$ проходит через точку $K$ параллельно образующей $MM_1$.