Номер 33, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 33, страница 68.

Условие.

7.33. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая ос-нование цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основа-ния под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна $S$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$), которую нам нужно найти, вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2\pi RH$

Сечение, образованное плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна длине хорды $a$ в основании цилиндра, а другая — высоте цилиндра $H$. По условию, площадь этого сечения равна $S$. Следовательно:
$S = a \cdot H$

Рассмотрим основание цилиндра — круг радиуса $R$. Хорда $a$ видна из центра этого круга под углом $\alpha$. Хорда и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углом $\alpha$ между ними. Длину хорды $a$ можно выразить через радиус $R$ и угол $\alpha$. Для этого опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду. Этот перпендикуляр является высотой и медианой в равнобедренном треугольнике, поэтому он делит угол $\alpha$ и хорду $a$ пополам. В образовавшемся прямоугольном треугольнике катет, равный $a/2$, лежит напротив угла $\alpha/2$, а гипотенуза равна $R$. Отсюда получаем соотношение:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Выразим из этого уравнения длину хорды $a$:
$a = 2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади сечения $S$:
$S = a \cdot H = \left(2R\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H = 2RH\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Из полученного равенства выразим произведение $2RH$, которое является частью формулы для площади боковой поверхности:
$2RH = \frac{S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = \pi \cdot (2RH) = \pi \cdot \frac{S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\pi S}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{\pi S}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$