Номер 37, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 37, страница 68.

Условие.

7.37. Основания трапеции равны 6 см и 27 см, а одна из боковых сторон – 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в данную трапецию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Основания трапеции $BC = 6$ см и $AD = 27$ см. Одна из боковых сторон, пусть $AB = 13$ см.

Основное свойство трапеции, в которую можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин ее противоположных сторон равны. То есть, сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$AB + CD = BC + AD$

Подставим известные значения, чтобы найти длину второй боковой стороны $CD$:

$13 + CD = 6 + 27$

$13 + CD = 33$

$CD = 33 - 13 = 20$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ связан с высотой трапеции $h$ соотношением $h = 2r$. Чтобы найти радиус, нам необходимо найти высоту трапеции.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к большему основанию $AD$. Так как $BH$ и $CK$ — высоты, то $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$, и $BH = CK = h$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 6$ см.

Отрезки $AH$ и $KD$ можно найти, рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Сумма их длин равна разности оснований:

$AH + KD = AD - HK = 27 - 6 = 21$ см.

Пусть $AH = x$, тогда $KD = 21 - x$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABH$:

$h^2 + AH^2 = AB^2$

$h^2 + x^2 = 13^2$

$h^2 = 169 - x^2$

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle CDK$:

$h^2 + KD^2 = CD^2$

$h^2 + (21-x)^2 = 20^2$

$h^2 = 400 - (21-x)^2$

Приравняем выражения для $h^2$:

$169 - x^2 = 400 - (21-x)^2$

$169 - x^2 = 400 - (441 - 42x + x^2)$

$169 - x^2 = 400 - 441 + 42x - x^2$

$169 = -41 + 42x$

$169 + 41 = 42x$

$210 = 42x$

$x = \frac{210}{42} = 5$ см. Итак, $AH = 5$ см.

Теперь найдем высоту $h$, подставив значение $x$ в одно из уравнений для $h^2$:

$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.