Номер 36, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 36, страница 68.

Условие.

7.36. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна $h$, а угол между его равными сторонами равен $\alpha$. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$. По условию задачи, $BH = h$, а угол между равными сторонами $\angle ABC = \alpha$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, $BH$ — биссектриса угла $\angle ABC$, и $\angle ABH = \angle CBH = \frac{\alpha}{2}$.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Обозначим инцентр буквой $O$. Так как $BH$ является биссектрисой, точка $O$ лежит на высоте $BH$.

Радиус вписанной окружности, обозначим его $r$, — это расстояние от инцентра до любой из сторон треугольника. Таким образом, расстояние от точки $O$ до основания $AC$ равно $r$, то есть $OH = r$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Он является прямоугольным, так как $BH$ — высота. Угол $\angle BAH$ можно найти из суммы углов треугольника: $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Так как инцентр $O$ является точкой пересечения биссектрис, луч $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAH$. Следовательно:$\angle OAH = \frac{\angle BAH}{2} = \frac{90^\circ - \alpha/2}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ ( $\angle AHO = 90^\circ$). В нем катеты $OH$ и $AH$ связаны через тангенс угла $\angle OAH$:

$\tan(\angle OAH) = \frac{OH}{AH}$

$r = AH \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$

Теперь найдем длину $AH$ из прямоугольного треугольника $ABH$:

$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH}$

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{AH}{h} \implies AH = h \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим выражение для $AH$ в формулу для $r$:

$r = h \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \tan\left(45^\circ - \frac{\alpha}{4}\right)$

Это является одним из возможных ответов, но его можно упростить. Воспользуемся другим подходом для получения более простого выражения.

Вернемся к тому, что $h = BH = BO + OH$. Мы знаем, что $OH = r$. Найдем длину отрезка $BO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $BO$, радиусом, проведенным в точку касания на стороне $AB$ (пусть это точка $K$), и отрезком $BK$. В треугольнике $BKO$ гипотенуза — $BO$, катет $OK=r$, а угол $\angle OBK = \frac{\alpha}{2}$.

Из треугольника $BKO$ имеем:

$\sin(\angle OBK) = \frac{OK}{BO} \implies \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{BO}$

Отсюда $BO = \frac{r}{\sin(\alpha/2)}$.

Подставим найденные выражения для $BO$ и $OH$ в равенство $h = BO + OH$:

$h = \frac{r}{\sin(\alpha/2)} + r$

Вынесем $r$ за скобки и выразим его:

$h = r\left(\frac{1}{\sin(\alpha/2)} + 1\right)$

$h = r\left(\frac{1 + \sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}\right)$

$r = \frac{h \cdot \sin(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)}$

Ответ: $r = \frac{h \sin(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)}$.