Номер 30, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 30, страница 67.

Условие.

7.30. Прямоугольник $MM_1N_1N$ — сечение цилиндра, параллельное его оси (рис. 7.17). Точки $A$ и $B$ лежат на основаниях цилиндра по разные стороны от данного сечения. Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 7.17

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Постройте точку пересечения прямой AB с плоскостью MM₁N₁.

Для построения искомой точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью сечения $(MM_1N_1)$ используется метод вспомогательной плоскости. Суть метода заключается в том, чтобы провести через прямую $AB$ вспомогательную плоскость, найти линию пересечения этой плоскости с плоскостью $(MM_1N_1)$, а затем найти точку пересечения исходной прямой $AB$ с полученной линией.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Построение вспомогательной плоскости. Через точку $A$, которая лежит на верхнем основании цилиндра, проведем образующую $AA_1$, параллельную оси цилиндра и, следовательно, образующим $MM_1$ и $NN_1$. Точка $A_1$ будет являться проекцией точки $A$ на плоскость нижнего основания. Прямая $AB$ и не лежащая на ней точка $A_1$ задают вспомогательную плоскость $(ABA_1)$.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей. Теперь найдем прямую, по которой вспомогательная плоскость $(ABA_1)$ пересекается с плоскостью сечения $(MM_1N_1)$.

   • Найдем одну общую точку этих плоскостей. Прямые $A_1B$ и $MN$ обе лежат в плоскости нижнего основания. Поскольку по условию точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от сечения $MM_1N_1N$, прямая $A_1B$ пересечет прямую $MN$. Обозначим точку их пересечения буквой $K$. Точка $K = A_1B \cap MN$. Так как $K$ лежит на прямой $MN$, она принадлежит плоскости $(MM_1N_1)$. Так как $K$ лежит на прямой $A_1B$, она принадлежит и вспомогательной плоскости $(ABA_1)$.

   • Определим направление линии пересечения. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $(ABA_1)$, а прямая $MM_1$ — в плоскости $(MM_1N_1)$. По построению $AA_1$ и по условию $MM_1$ являются образующими цилиндра, следовательно, они параллельны ($AA_1 \parallel MM_1$). Если две пересекающиеся плоскости проходят через две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. Значит, линия пересечения плоскостей $(ABA_1)$ и $(MM_1N_1)$ проходит через их общую точку $K$ и параллельна прямым $AA_1$ и $MM_1$. Обозначим эту прямую $l$.

3. Нахождение искомой точки. Прямая $AB$ и прямая $l$ лежат в одной плоскости — во вспомогательной плоскости $(ABA_1)$. Точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(MM_1N_1)$ является точкой пересечения прямой $AB$ с прямой $l$ (линией пересечения плоскостей). Найдем точку пересечения этих прямых и обозначим ее $P$. Точка $P = AB \cap l$ является искомой.

Ответ: Точка $P$, построенная как точка пересечения прямой $AB$ с прямой $l$ (где $l$ проходит через точку $K = A_1B \cap MN$ параллельно образующей $MM_1$), является искомой точкой пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.