Номер 26, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 67.

Условие.

7.26. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi R$.

По условию задачи, эта развёртка является квадратом. У квадрата все стороны равны, следовательно, высота цилиндра равна длине окружности его основания:$H = C = 2\pi R$

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. Оно представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D = 2R$.

Таким образом, осевое сечение является прямоугольником со сторонами $H = 2\pi R$ и $D = 2R$.

Нам нужно найти угол между диагоналями этого прямоугольника. Пусть $\phi$ — искомый угол. В прямоугольнике два угла между диагоналями: один острый, другой тупой (если это не квадрат), и в сумме они дают $180^{\circ}$. Обычно под углом между прямыми понимают острый угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами осевого сечения ($H$ и $D$) и его диагональю. Пусть $\beta$ — угол между диагональю и стороной $H$. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($D$) к прилежащему ($H$):$\tan(\beta) = \frac{D}{H} = \frac{2R}{2\pi R} = \frac{1}{\pi}$

Диагонали прямоугольника делят его на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к сторонам $H$, являются равнобедренными, и угол при вершине (в точке пересечения диагоналей) равен $2\beta$. Этот угол и является одним из углов между диагоналями.

Определим, острый это угол или тупой. Так как $\pi \approx 3.14 > 1$, то $\frac{1}{\pi} < 1$. Следовательно, $\tan(\beta) < 1$. Поскольку для острых углов тангенс является возрастающей функцией, а $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $\beta < 45^{\circ}$.

Отсюда следует, что угол $2\beta$ будет меньше $90^{\circ}$, то есть $2\beta$ — это острый угол между диагоналями.

Итак, искомый угол $\phi$ равен $2\beta$. Поскольку $\tan(\beta) = \frac{1}{\pi}$, то $\beta = \arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)$.Следовательно, угол между диагоналями осевого сечения равен $2\arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)$.
Ответ: $2\arctan\left(\frac{1}{\pi}\right)$