Номер 20, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 66.

Условие.

7.20. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 10 см, а высота – 12 см, проведено сечение, являющееся квадратом. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а другая — хорде в основании цилиндра.

По условию, высота цилиндра $H = 12$ см, а радиус основания $R = 10$ см. Также известно, что сечение является квадратом. В квадрате все стороны равны, следовательно, сторона сечения, являющаяся хордой основания, также равна 12 см. Обозначим эту хорду как $AB$, тогда $AB = 12$ см.

Задача сводится к нахождению расстояния от центра окружности основания до хорды $AB$. Обозначим это расстояние как $d$. Рассмотрим сечение, перпендикулярное оси цилиндра, которое является кругом с центром $O$ и радиусом $R = 10$ см.

Проведем радиусы $OA$ и $OB$ к концам хорды. Получим равнобедренный треугольник $OAB$, где $OA = OB = R = 10$ см. Расстояние от центра $O$ до хорды $AB$ — это высота $OM$ этого треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $M$ делит хорду $AB$ пополам:$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$. По теореме Пифагора:$OA^2 = OM^2 + AM^2$$R^2 = d^2 + (AB/2)^2$

Подставим известные значения и найдем $d$:$10^2 = d^2 + 6^2$$100 = d^2 + 36$$d^2 = 100 - 36$$d^2 = 64$$d = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения составляет 8 см.

Ответ: 8 см.