Номер 19, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 66.

Условие.

7.19. Вокруг какой из сторон прямоугольника, большей или меньшей, надо его вращать, чтобы получить цилиндр с большей площадью:

1) боковой поверхности;

2) полной поверхности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, и пусть $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая, то есть $a > b$.

Рассмотрим два возможных случая вращения:

Случай 1: Вращение вокруг большей стороны $a$.
При вращении прямоугольника вокруг стороны $a$ получается цилиндр, у которого высота $h_1 = a$, а радиус основания $r_1 = b$.

Случай 2: Вращение вокруг меньшей стороны $b$.
При вращении прямоугольника вокруг стороны $b$ получается цилиндр, у которого высота $h_2 = b$, а радиус основания $r_2 = a$.

1) боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.

Для первого случая (вращение вокруг стороны $a$):
$S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi b a = 2\pi ab$.

Для второго случая (вращение вокруг стороны $b$):
$S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi a b = 2\pi ab$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $S_{бок1} = S_{бок2}$. Это означает, что площади боковых поверхностей в обоих случаях равны.

Ответ: Площадь боковой поверхности не зависит от того, вокруг какой стороны (большей или меньшей) вращается прямоугольник; она будет одинаковой в обоих случаях.

2) полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$.

Для первого случая (вращение вокруг стороны $a$):
$S_{полн1} = 2\pi r_1 (h_1 + r_1) = 2\pi b (a + b) = 2\pi ab + 2\pi b^2$.

Для второго случая (вращение вокруг стороны $b$):
$S_{полн2} = 2\pi r_2 (h_2 + r_2) = 2\pi a (b + a) = 2\pi ab + 2\pi a^2$.

Чтобы сравнить площади $S_{полн1}$ и $S_{полн2}$, сравним их выражения. Оба выражения содержат одинаковое слагаемое $2\pi ab$. Поэтому сравнение сводится к сравнению слагаемых $2\pi b^2$ и $2\pi a^2$.

Поскольку по условию $a > b > 0$, то $a^2 > b^2$.
Умножив обе части неравенства на положительное число $2\pi$, получим:
$2\pi a^2 > 2\pi b^2$.

Следовательно, $2\pi ab + 2\pi a^2 > 2\pi ab + 2\pi b^2$, что означает $S_{полн2} > S_{полн1}$.

Таким образом, площадь полной поверхности будет больше в том случае, когда прямоугольник вращается вокруг его меньшей стороны (стороны $b$), так как в этом случае большая сторона ($a$) становится радиусом, а площадь оснований ($2\pi r^2$) вносит больший вклад в общую площадь.

Ответ: Чтобы получить цилиндр с большей площадью полной поверхности, прямоугольник необходимо вращать вокруг его меньшей стороны.