Номер 13, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 65.

Условие.

7.13. Диаметр основания цилиндра больше его высоты, а угол между диагоналями осевого сечения равен $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна $S$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, диаметр основания как $D=2R$, а высоту как $H$. Площадь основания цилиндра $S$ дается формулой $S = \pi R^2$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $D$ и $H$. Диагонали этого прямоугольника пересекаются под углом $\alpha$. Точка пересечения диагоналей делит их пополам, образуя две пары равных равнобедренных треугольников. Одна пара имеет основание $D$, а другая — $H$.

По условию, диаметр основания больше высоты: $D > H$. В треугольниках, образованных половинами диагоналей, большей стороне противолежит больший угол. Следовательно, угол между диагоналями, который противолежит стороне $D$, будет тупым, а угол, противолежащий стороне $H$, — острым. Обычно под углом между прямыми понимают острый угол, поэтому будем считать, что $\alpha$ — это острый угол, противолежащий стороне $H$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $H$, образованный диагоналями. Проведем в нем высоту из вершины (точки пересечения диагоналей) к основанию $H$. Эта высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Длина этой высоты равна половине диаметра, то есть $D/2$. Один из катетов равен половине высоты цилиндра, то есть $H/2$. Угол при вершине равен $\alpha/2$.
В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha/2$ равен отношению противолежащего катета ($H/2$) к прилежащему ($D/2$):
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{H/2}{D/2} = \frac{H}{D}$
Отсюда можно выразить высоту $H$ через диаметр $D$:
$H = D \tan(\frac{\alpha}{2})$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H = \pi D H$.
Подставим найденное выражение для $H$:
$S_{бок} = \pi D (D \tan(\frac{\alpha}{2})) = \pi D^2 \tan(\frac{\alpha}{2})$

Теперь свяжем $D^2$ с известной площадью основания $S$.
$S = \pi R^2 = \pi (\frac{D}{2})^2 = \frac{\pi D^2}{4}$
Из этого равенства следует, что $\pi D^2 = 4S$.

Подставим полученное выражение для $\pi D^2$ в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = ( \pi D^2 ) \tan(\frac{\alpha}{2}) = 4S \tan(\frac{\alpha}{2})$
Ответ: $4S \tan(\frac{\alpha}{2})$