Номер 6, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 64.

Условие.

7.6. Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращают вокруг большей стороны. Найдите:

1) диагональ осевого сечения образовавшегося цилиндра;

2) площадь полной поверхности этого цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

При вращении прямоугольника со сторонами 1 см и 3 см вокруг его большей стороны (длиной 3 см) образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне, вокруг которой происходит вращение, а радиус основания $r$ — другой стороне.

Таким образом, высота цилиндра $h = 3$ см, а радиус его основания $r = 1$ см.

1) диагональ осевого сечения образовавшегося цилиндра

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$.

Высота сечения: $h = 3$ см.

Диаметр основания: $D = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Диагональ $d$ этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + D^2$

$d = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ см.

Ответ: $\sqrt{13}$ см.

2) площадь полной поверхности этого цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания (круга) находится по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:

$S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

Площадь боковой поверхности находится по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot 1 \cdot 3 = 6\pi$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot \pi + 6\pi = 8\pi$ см².

Ответ: $8\pi$ см².