Номер 8, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 65.

Условие.

7.8. Точки $O$ и $O_1$ – центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно (рис. 7.15). Точка $A$ – произвольная точка окружности, ограничивающей нижнее основание цилиндра. Отрезок $O_1A$ равен 6 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

7.8. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta O_1OA$, образованный центрами оснований $O$ и $O_1$, и точкой $A$ на окружности нижнего основания. В этом треугольнике:

• $O_1A$ — гипотенуза, равная 6 см по условию.
• $OA$ — катет, являющийся радиусом основания цилиндра ($R$).
• $OO_1$ — катет, являющийся высотой цилиндра ($H$).

Угол между отрезком $O_1A$ и плоскостью основания — это угол $\angle O_1AO$, так как $OA$ является проекцией $O_1A$ на плоскость основания. По условию, $\angle O_1AO = 60^\circ$. Найдем высоту $H$ и радиус $R$ из треугольника $\Delta O_1OA$:
$H = OO_1 = O_1A \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
$R = OA = O_1A \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.
Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 18\pi\sqrt{3}$ см².
Ответ: $18\pi\sqrt{3}$ см².

7.9. Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований цилиндра, а $A$ — точка на окружности одного из оснований (например, нижнего). Нам нужно найти расстояние от центра другого основания ($O_1$) до точки $A$, то есть длину отрезка $O_1A$.
По условию, высота цилиндра $H = OO_1 = 5$ см.
Диаметр основания равен 24 см, следовательно, радиус основания $R = OA = \frac{24}{2} = 12$ см.
Отрезки $OO_1$ (высота), $OA$ (радиус) и искомый отрезок $O_1A$ образуют прямоугольный треугольник $\Delta O_1OA$, где $\angle O_1OA = 90^\circ$.
По теореме Пифагора:
$(O_1A)^2 = (OO_1)^2 + (OA)^2$
$(O_1A)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$O_1A = \sqrt{169} = 13$ см.
Ответ: 13 см.