Номер 3, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 64.

Условие.

7.3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна $d$ и образует с плоскостью основания цилиндра угол $\alpha$. Найдите:

1) высоту цилиндра;

2) площадь основания цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника по условию равна $d$.

Угол $\alpha$, который диагональ $d$ образует с плоскостью основания, является углом между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали является диаметр основания $D$.

Таким образом, высота цилиндра $h$, диаметр основания $D$ и диагональ осевого сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, $h$ и $D$ — катеты, а $\alpha$ — угол, противолежащий катету $h$ и прилежащий к катету $D$.

1) высоту цилиндра

В указанном прямоугольном треугольнике высота цилиндра $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{d}$
Выразим отсюда высоту $h$:
$h = d \cdot \sin(\alpha)$
Ответ: $d \sin(\alpha)$

2) площадь основания цилиндра

Основание цилиндра — это круг, площадь которого $S_{осн}$ находится по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.
Сначала найдем диаметр основания $D$. В нашем прямоугольном треугольнике $D$ — это катет, прилежащий к углу $\alpha$. По определению косинуса:
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{D}{d}$
Отсюда выражаем диаметр $D$:
$D = d \cdot \cos(\alpha)$
Радиус основания равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{d \cos(\alpha)}{2}$
Теперь подставим найденное значение радиуса в формулу площади основания:
$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{d \cos(\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2 \cos^2(\alpha)}{4}$
Ответ: $\frac{\pi d^2 \cos^2(\alpha)}{4}$