Номер 10, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 65.

Условие.

7.10. Диагональ развёртки боковой поверхности цилиндра равна $d$ и образует с одной из сторон развёртки угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и длина окружности его основания $C$. Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна площади этого прямоугольника.

$S_{бок} = C \cdot h$

По условию задачи, диагональ этого прямоугольника равна $d$ и образует с одной из его сторон угол $\alpha$. Эта диагональ вместе со сторонами прямоугольника образует прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза равна $d$;
• катеты равны $h$ и $C$;
• один из острых углов равен $\alpha$.

Выразим катеты (стороны развёртки) через гипотенузу $d$ и угол $\alpha$ с помощью тригонометрических функций. Пусть угол $\alpha$ образован диагональю и стороной $h$. Тогда:

$h = d \cdot \cos(\alpha)$ (как прилежащий катет)
$C = d \cdot \sin(\alpha)$ (как противолежащий катет)

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = C \cdot h = (d \cdot \sin(\alpha)) \cdot (d \cdot \cos(\alpha)) = d^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

Заметим, что если бы угол $\alpha$ был образован диагональю со стороной $C$, то значения для $h$ и $C$ поменялись бы местами, но их произведение, а следовательно и площадь, осталось бы тем же.

Полученное выражение можно упростить, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$. Отсюда $\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

$S_{бок} = d^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} d^2 \sin(2\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2} d^2 \sin(2\alpha)$