Номер 12, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 65.

Условие.

7.12. Как изменится, увеличится или уменьшится, и во сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра, если:

1) радиус его основания увеличить в $k$ раз;

2) высоту цилиндра уменьшить в $k$ раз;

3) высоту цилиндра увеличить в $k$ раз, а радиус основания — уменьшить в $k$ раз?

Какой функцией является зависимость площади боковой поверхности цилиндра от: 1) радиуса его основания; 2) высоты цилиндра?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ — это радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. Обозначим начальную площадь как $S_1 = 2 \pi r_1 h_1$.

1) радиус его основания увеличить в k раз

Если радиус основания $r_1$ увеличить в $k$ раз, новый радиус будет $r_2 = k \cdot r_1$. Высота $h_1$ при этом не меняется ($h_2 = h_1$). Новая площадь боковой поверхности $S_2$ будет равна: $S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi (k \cdot r_1) h_1 = k \cdot (2 \pi r_1 h_1) = k \cdot S_1$. Таким образом, площадь боковой поверхности увеличится в $k$ раз.
Ответ: Увеличится в $k$ раз.

2) высоту цилиндра уменьшить в k раз

Если высоту $h_1$ уменьшить в $k$ раз, новая высота будет $h_2 = \frac{h_1}{k}$. Радиус $r_1$ при этом не меняется ($r_2 = r_1$). Новая площадь боковой поверхности $S_2$ будет равна: $S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi r_1 \left(\frac{h_1}{k}\right) = \frac{1}{k} \cdot (2 \pi r_1 h_1) = \frac{S_1}{k}$. Таким образом, площадь боковой поверхности уменьшится в $k$ раз.
Ответ: Уменьшится в $k$ раз.

3) высоту цилиндра увеличить в k раз, а радиус основания — уменьшить в k раз

Если высоту $h_1$ увеличить в $k$ раз ($h_2 = k \cdot h_1$), а радиус $r_1$ уменьшить в $k$ раз ($r_2 = \frac{r_1}{k}$), то новая площадь боковой поверхности $S_2$ будет равна: $S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi \left(\frac{r_1}{k}\right) (k \cdot h_1) = \frac{k}{k} \cdot (2 \pi r_1 h_1) = 1 \cdot S_1 = S_1$. Таким образом, площадь боковой поверхности не изменится.
Ответ: Не изменится.

Какой функцией является зависимость площади боковой поверхности цилиндра от:

1) радиуса его основания

Если высота цилиндра $h$ является постоянной величиной, то зависимость площади боковой поверхности $S_{бок}$ от радиуса $r$ описывается формулой $S_{бок}(r) = (2 \pi h) \cdot r$. Это функция вида $y = ax$, где $a = 2 \pi h$ — постоянный коэффициент. Такая зависимость является прямой пропорциональностью, которая относится к линейным функциям.
Ответ: Прямая пропорциональность (линейная функция).

2) высоты цилиндра

Если радиус основания цилиндра $r$ является постоянной величиной, то зависимость площади боковой поверхности $S_{бок}$ от высоты $h$ описывается формулой $S_{бок}(h) = (2 \pi r) \cdot h$. Это функция вида $y = ax$, где $a = 2 \pi r$ — постоянный коэффициент. Такая зависимость также является прямой пропорциональностью (линейной функцией).
Ответ: Прямая пропорциональность (линейная функция).