Номер 17, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 65.

Условие.

7.17. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо найти $R$ и $H$, используя данные из условия.

Нахождение радиуса основания R

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — его центр, а $AB$ — данная хорда. По условию, хорда видна из центра под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$. Расстояние от центра $O$ до хорды $AB$ — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из точки $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OM = a$.

Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы основания). В равнобедренном треугольнике высота $OM$, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла $\angle AOB$. Следовательно, $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем известны катет $OM = a$ и угол $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Гипотенуза $OA = R$. Из определения косинуса угла получаем:

$\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} \implies \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a}{R}$

Из этого соотношения выражаем радиус $R$:

$R = \frac{a}{\cos(\alpha/2)}$

Нахождение высоты цилиндра H

Пусть $O'$ — центр верхнего основания. Тогда высота цилиндра $H = OO'$. По условию, отрезок $O'A$ (соединяющий центр верхнего основания с концом хорды $A$) образует с плоскостью нижнего основания угол $\beta$. Проекцией наклонной $O'A$ на плоскость нижнего основания является радиус $OA$. Следовательно, угол между наклонной и ее проекцией — это $\angle O'AO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O'OA$, в котором катет $OO' = H$ и катет $OA = R$. Угол $\angle O'OA$ — прямой, так как высота цилиндра перпендикулярна его основанию. Из определения тангенса угла получаем:

$\tan(\angle O'AO) = \frac{O'O}{OA} \implies \tan(\beta) = \frac{H}{R}$

Выражаем высоту $H$ и подставляем ранее найденное выражение для $R$:

$H = R \cdot \tan(\beta) = \frac{a}{\cos(\alpha/2)} \cdot \tan(\beta)$

Вычисление площади боковой поверхности

Теперь, зная выражения для $R$ и $H$, мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{\cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{a \tan(\beta)}{\cos(\alpha/2)}\right)$

После упрощения получаем окончательный результат:

$S_{бок} = \frac{2\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{2\pi a^2 \tan(\beta)}{\cos^2(\alpha/2)}$