Номер 11, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 65.

Условие.

7.11. Квадрат, диагональ которого равна $4\pi$ см, является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности его основания $C$. По условию задачи, эта развёртка является квадратом, следовательно, его стороны равны: $h = C = a$, где $a$ – сторона квадрата.

Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

По условию, диагональ квадрата равна $d = 4\pi$ см. Найдём сторону квадрата $a$:
$(4\pi)^2 = 2a^2$
$16\pi^2 = 2a^2$
$a^2 = \frac{16\pi^2}{2} = 8\pi^2$
$a = \sqrt{8\pi^2} = 2\pi\sqrt{2}$ см.

Таким образом, высота цилиндра $h = 2\pi\sqrt{2}$ см, и длина окружности основания $C = 2\pi\sqrt{2}$ см.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ – радиус основания. Найдём радиус, подставив известное значение $C$:
$2\pi R = 2\pi\sqrt{2}$
Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получим:
$R = \sqrt{2}$ см.

Площадь основания цилиндра – это площадь круга, которая вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Подставим найденное значение радиуса:
$S_{осн} = \pi (\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см².

Ответ: $2\pi$ см².