Номер 18, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 66.

Условие.

7.18. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\beta$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, равен $m$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Для решения задачи необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные параметры $m$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Обозначим центры нижнего и верхнего оснований как $O$ и $O'$ соответственно. В нижнем основании проведена хорда $AB$. По условию, центральный угол $\angle AOB = \beta$. Пусть $K$ — середина хорды $AB$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ (где $OA = OB = R$). В этом треугольнике медиана $OK$ является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $OK \perp AB$ и $\angle AOK = \angle BOK = \frac{\beta}{2}$. Из прямоугольного треугольника $\triangle OKA$ находим расстояние от центра основания до хорды:

$OK = OA \cdot \cos(\angle AOK) = R \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

2. Рассмотрим отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O'$ и середину хорды $K$. Длина этого отрезка по условию равна $m$, то есть $O'K = m$. Этот отрезок образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией наклонной $O'K$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OK$. Следовательно, угол между наклонной и ее проекцией равен $\alpha$, то есть $\angle O'KO = \alpha$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O'OK$. Угол $\angle O'OK$ прямой, так как высота цилиндра $O'O = H$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любому отрезку в этой плоскости, включая $OK$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $O'K = m$;
• катет $O'O = H$ (высота цилиндра) лежит против угла $\alpha$, откуда $H = O'K \cdot \sin(\angle O'KO) = m \sin(\alpha)$;
• катет $OK$ прилежит к углу $\alpha$, откуда $OK = O'K \cdot \cos(\angle O'KO) = m \cos(\alpha)$.

4. Теперь у нас есть два выражения для длины отрезка $OK$. Приравняем их, чтобы найти радиус $R$:

$R \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) = m \cos(\alpha)$

$R = \frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

5. Подставим найденные выражения для $R$ и $H$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot \left(\frac{m \cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}\right) \cdot (m \sin(\alpha))$

$S_{бок} = \frac{2\pi m^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, окончательно получаем:

$S_{бок} = \frac{\pi m^2 \sin(2\alpha)}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 \sin(2\alpha)}{\cos(\frac{\beta}{2})}$.