Номер 15, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 65.

Условие.

7.15. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $120^\circ$, а из центра верхнего основания – под углом $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 6 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота. Обозначим хорду в нижнем основании как $AB$. По условию, длина хорды $AB = 6$ см. Пусть $O$ — центр нижнего основания, а $O_1$ — центр верхнего основания.

Рассмотрим треугольник $AOB$ в нижнем основании. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами основания, поэтому $OA = OB = R$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный. Угол, под которым хорда видна из центра этого основания, равен $\angle AOB = 120^\circ$. Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $AOB$: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$ $6^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)$ $36 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})$ $36 = 2R^2 + R^2$ $36 = 3R^2$ $R^2 = 12$ $R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AO_1B$. По условию, хорду $AB$ видно из центра верхнего основания $O_1$ под углом $\angle AO_1B = 60^\circ$. Отрезки $O_1A$ и $O_1B$ равны, так как точки $A$ и $B$ находятся на окружности нижнего основания и равноудалены от оси цилиндра $OO_1$. Таким образом, треугольник $AO_1B$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$. Следовательно, треугольник $AO_1B$ — равносторонний, и все его стороны равны. $O_1A = O_1B = AB = 6$ см.

Для нахождения высоты цилиндра $H$ рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1OA$. Катет $O_1O$ — это высота цилиндра $H$, катет $OA$ — это радиус основания $R$, а гипотенуза $O_1A$ — это отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой на окружности нижнего основания. По теореме Пифагора: $O_1A^2 = O_1O^2 + OA^2$ $H^2 = O_1A^2 - R^2$ Подставим известные значения $O_1A = 6$ см и $R = 2\sqrt{3}$ см: $H^2 = 6^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 4 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$ $H = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi RH$ Подставим найденные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $H = 2\sqrt{6}$ см: $S_{бок} = 2\pi \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6}) = 8\pi \sqrt{3 \cdot 6} = 8\pi \sqrt{18}$ $S_{бок} = 8\pi \sqrt{9 \cdot 2} = 8\pi \cdot 3\sqrt{2} = 24\pi\sqrt{2}$ см².

Ответ: $24\pi\sqrt{2}$ см².