Номер 21, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 66.

Условие.

7.21. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha$ ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол $\beta$, а радиус основания равен $R$. Найдите площадь сечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку сечение проведено параллельно оси цилиндра, оно представляет собой прямоугольник. Площадь этого прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: ширины $a$ и высоты $H$.

Найдем высоту $H$ прямоугольника.

Высота сечения $H$ совпадает с высотой цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра, радиусом нижнего основания $R$ и отрезком, соединяющим центр верхнего основания с точкой на окружности нижнего основания. В этом треугольнике:

• Один катет — это высота цилиндра $H$.
• Второй катет — это радиус основания $R$.
• Угол между гипотенузой (данным отрезком) и катетом $R$ (проекцией отрезка на плоскость основания) по условию равен $\beta$.

Из определения тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\beta) = \frac{H}{R}$

Отсюда выражаем высоту:

$H = R \cdot \tan(\beta)$

Найдем ширину $a$ прямоугольника.

Ширина сечения $a$ — это длина хорды, которая отсекает от окружности основания дугу с градусной мерой $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании цилиндра, образованный двумя радиусами $R$, проведенными к концам этой хорды. Угол между радиусами (центральный угол) равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\alpha$.

Длину хорды $a$ можно найти, опустив высоту из центра окружности на хорду. Эта высота разделит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $R$, один из катетов равен половине хорды $(\frac{a}{2})$, а угол, противолежащий этому катету, равен половине центрального угла $(\frac{\alpha}{2})$.

Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выражаем ширину:

$\frac{a}{2} = R \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$

$a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

Найдем площадь сечения $S$.

Теперь, зная высоту $H$ и ширину $a$, мы можем вычислить площадь сечения:

$S = a \cdot H = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot (R \tan(\beta))$

$S = 2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

Ответ: $S = 2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.