Номер 27, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 67.

Условие.

7.27. Угол между диагональю развёртки боковой поверхности цилиндра и стороной развёртки, равной длине окружности основания цилиндра, равен $\alpha$. Найдите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами $H$ и $C$, где $C$ — длина окружности основания цилиндра. Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Диагональ этой развёртки, сторона $C$ и сторона $H$ образуют прямоугольный треугольник. По условию, угол между диагональю и стороной $C$ равен $\alpha$. В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($H$) к прилежащему катету ($C$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{C} = \frac{H}{2\pi R}$

Из этого соотношения мы можем выразить высоту цилиндра $H$:

$H = 2\pi R \tan(\alpha)$

Теперь рассмотрим осевое сечение цилиндра. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $H$ и диаметру основания $D = 2R$.

Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и диаметром основания, лежащим в сечении. Обозначим этот искомый угол как $\beta$. Этот угол находится в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю осевого сечения (гипотенуза), высотой $H$ (противолежащий катет) и диаметром $D$ (прилежащий катет).

Тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета ($H$) к прилежащему катету ($D$):

$\tan(\beta) = \frac{H}{D} = \frac{H}{2R}$

Подставим ранее найденное выражение для $H$ в эту формулу:

$\tan(\beta) = \frac{2\pi R \tan(\alpha)}{2R}$

Сократив $2R$ в числителе и знаменателе, получим:

$\tan(\beta) = \pi \tan(\alpha)$

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен:

$\beta = \arctan(\pi \tan(\alpha))$

Ответ: $\arctan(\pi \tan(\alpha))$