Номер 25, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 66.

Условие.

7.25. Высота цилиндра равна 20 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок, соединяющий центры оснований, в точке, удалённой на 6 см от плоскости нижнего основания, а саму эту плоскость — в точке, удалённой на 15 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания цилиндра, $O_1$, находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда ось цилиндра совпадает с осью $Oz$, а плоскость нижнего основания — с плоскостью $Oxy$ ($z=0$). Высота цилиндра $H = 20$ см, значит, верхнее основание лежит в плоскости $z=20$.

Пусть $R$ — искомый радиус основания цилиндра. Для упрощения выберем образующую $AB$ в плоскости $Oxz$. Ее нижняя точка $A$ имеет координаты $(R,0,0)$, а верхняя $B$ — $(R,0,20)$.

По условию, прямая $l$ проходит через середину $M$ образующей $AB$. Найдем координаты точки $M$:

$M = (\frac{R+R}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+20}{2}) = (R, 0, 10)$.

Прямая $l$ пересекает ось цилиндра ($Oz$) в точке $P$, удаленной на 6 см от нижнего основания. Таким образом, координаты точки $P$ — $(0, 0, 6)$.

Прямая $l$ также пересекает плоскость нижнего основания ($z=0$) в точке $Q$, которая удалена на 15 см от центра $O_1$. Так как точки $M$ и $P$ лежат в плоскости $Oxz$, то и вся прямая $l$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $Q$ имеет координаты $(x_Q, 0, 0)$, и расстояние $|O_1Q| = |x_Q| = 15$ см.

Рассмотрим сечение задачи плоскостью $Oxz$. В этой плоскости лежат точки $M(R,10)$, $P(0,6)$ и $Q(x_Q,0)$ на одной прямой. Для нахождения $R$ воспользуемся подобием треугольников.

Построим два прямоугольных треугольника. Первый — $\triangle PO_1Q$ с вершинами в $P(0,6)$, $O_1(0,0)$ и $Q(x_Q,0)$. Он прямоугольный с прямым углом при вершине $O_1$. Его катеты: $O_1P=6$ и $O_1Q=15$.

Второй треугольник — $\triangle MSP$. Проведем через точку $P$ прямую, параллельную оси $Ox$, а через точку $M$ — прямую, параллельную оси $Oz$. В точке их пересечения $S(R,6)$ будет прямой угол. Катеты этого треугольника: $PS = R$ и $SM = 10 - 6 = 4$.

Треугольники $\triangle PO_1Q$ и $\triangle MSP$ подобны, так как они оба прямоугольные, и острые углы $\angle PQO_1$ и $\angle MPS$ равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $O_1Q$ и $PS$ и секущей $l$).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих катетов (тангенсов равных углов):

$\frac{SM}{PS} = \frac{O_1P}{O_1Q}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{R} = \frac{6}{15}$

Решим уравнение относительно $R$:

$6 \cdot R = 4 \cdot 15$

$6R = 60$

$R = \frac{60}{6} = 10$ см.

Ответ: 10 см.