Номер 24, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 66.

Условие.

7.24. Радиус основания цилиндра равен 9 см. Из середины отрезка $OO_1$, где точки $O$ и $O_1$ – центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра, проведён луч, пересекающий плоскость нижнего основания в точке, удалённой от центра этого основания на 12 см. Этот луч пересекает образующую цилиндра в точке, удалённой от плоскости нижнего основания на 2 см. Найдите высоту цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через луч. В этом сечении мы получим прямоугольник, представляющий цилиндр, его ось $OO_1$, и луч, выходящий из точки $M$ (середины $OO_1$) и пересекающий основание и образующую.

Введём обозначения в системе координат этого сечения. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0, 0)$. Тогда ось цилиндра $OO_1$ совпадает с осью ординат. Высота цилиндра равна $H$, значит, координаты центра верхнего основания $O_1$ будут $(0, H)$.

Точка $M$ — середина отрезка $OO_1$, её координаты: $M\left(0, \frac{H}{2}\right)$.

Луч пересекает плоскость нижнего основания (ось абсцисс в нашем сечении) в точке $P$, удалённой от центра $O$ на 12 см. Координаты точки $P$ будут $(12, 0)$.

Этот же луч пересекает образующую цилиндра в точке $K$. Образующая в нашем сечении — это вертикальная линия. Расстояние от оси до образующей равно радиусу цилиндра $R = 9$ см. Таким образом, абсцисса точки $K$ равна 9.

Расстояние от точки $K$ до плоскости нижнего основания равно 2 см. Это означает, что ордината точки $K$ равна 2.Итак, координаты точки $K$ — $(9, 2)$.

Точки $M\left(0, \frac{H}{2}\right)$, $K(9, 2)$ и $P(12, 0)$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — $\triangle M'MP$, где $M'$ — проекция точки $M$ на прямую $x=12$. Его катеты равны $M'P = \frac{H}{2}$ и $MM' = 12$. Второй — $\triangle K'KP$, где $K'$ — проекция точки $K$ на прямую $x=12$. Его катеты равны $K'P = 2$ и $KK' = 12 - 9 = 3$.

Эти треугольники подобны по двум углам (один угол общий, второй — прямой).Из подобия треугольников следует пропорциональность их катетов:

$\frac{M'P}{K'P} = \frac{MM'}{KK'}$

Подставим известные значения:

$\frac{H/2}{2} = \frac{12}{3}$

$\frac{H}{4} = 4$

$H = 4 \cdot 4 = 16$

Таким образом, высота цилиндра равна 16 см.

Ответ: 16 см.