Номер 4, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 7. Цилиндр. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 64.

Условие.

7.4. Площадь основания цилиндра равна $49\pi \text{ см}^2$, а угол между диагональю осевого сечения и образующей цилиндра равен $30^\circ$. Найдите высоту цилиндра.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ определяется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – это радиус основания.

Согласно условию задачи, площадь основания равна $49\pi \text{ см}^2$. Используя эту информацию, мы можем найти радиус основания:
$\pi R^2 = 49\pi$
$R^2 = 49$
$R = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$

Диаметр основания $D$ в два раза больше радиуса:
$D = 2R = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}$

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. Образующая цилиндра равна его высоте.

Диагональ этого прямоугольника, вместе с высотой (образующей) и диаметром основания, образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• высота $H$ является одним катетом;
• диаметр $D$ является вторым катетом;
• диагональ осевого сечения является гипотенузой.

По условию, угол между диагональю осевого сечения и образующей (то есть высотой $H$) равен $30^\circ$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике это угол, прилежащий к катету $H$.

Соотношение между катетами в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс угла. Тангенс угла в $30^\circ$ равен отношению противолежащего катета ($D$) к прилежащему катету ($H$):
$\tan(30^\circ) = \frac{D}{H}$

Отсюда мы можем выразить высоту $H$:
$H = \frac{D}{\tan(30^\circ)}$

Зная, что $D = 14 \text{ см}$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, находим высоту:
$H = \frac{14}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 14\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $14\sqrt{3} \text{ см}$.