Номер 13, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 72.

Условие.

8.13. Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $h$ - высота цилиндра, $D$ - диаметр его основания, а $\alpha$ - угол, который диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания. По условию, $h = 6$ см и $\alpha = 60^\circ$.

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами $h$ и $D$. Диагональ этого сечения, высота $h$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катет $h$ противолежит углу $\alpha$, а катет $D$ прилежит к нему.

Используя определение тангенса, найдем диаметр основания цилиндра:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{D}$
$D = \frac{h}{\tan(\alpha)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

В цилиндр вписана правильная четырёхугольная призма. Это значит, что в основании призмы лежит квадрат, вписанный в окружность основания цилиндра, а высота призмы $h_{пр}$ равна высоте цилиндра $h$.
$h_{пр} = h = 6$ см.

Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Пусть $a$ - сторона квадрата в основании призмы. Тогда диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$.
$a\sqrt{2} = D = 2\sqrt{3}$
Отсюда находим сторону квадрата:
$a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h_{пр}$.
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h_{пр}$

Периметр основания (квадрата) равен:
$P_{осн} = 4a = 4\sqrt{6}$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 4\sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}$ см².

Ответ: $24\sqrt{6}$ см².