Номер 18, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 72.

Условие.

8.18. В призму, основанием которой является равнобокая трапеция с основаниями 8 см и 18 см, вписан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если высота призмы равна 10 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — это радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как цилиндр вписан в призму, его высота равна высоте призмы, то есть $H = 10$ см. Основание цилиндра — это окружность, вписанная в основание призмы, то есть в равнобокую трапецию. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в трапецию.

В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим основания трапеции как $a = 8$ см и $b = 18$ см, а боковые стороны как $c$. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны.

$a + b = c + c$
$8 + 18 = 2c$
$26 = 2c$
$c = 13$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h_{трап.}$. Если провести из вершин меньшего основания высоты к большему, то они отсекут на большем основании два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна полуразности оснований: $\frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза $c=13$ см), высотой трапеции $h_{трап.}$ (катет) и найденным отрезком (второй катет, 5 см). По теореме Пифагора:

$c^2 = h_{трап.}^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2$
$13^2 = h_{трап.}^2 + 5^2$
$169 = h_{трап.}^2 + 25$
$h_{трап.}^2 = 169 - 25 = 144$
$h_{трап.} = \sqrt{144} = 12$ см.

Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте. Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен половине высоты трапеции: $R = \frac{h_{трап.}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10 = 120\pi$ см².

Ответ: $120\pi$ см².