Номер 23, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 73.

Условие.

8.23. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а ее высота — $h$.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту призмы. Периметр основания (правильного треугольника) равен $P = 3a$.

Таким образом, площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot h = 3ah$. По условию задачи $S_{бок} = S$, следовательно:

$S = 3ah$

Из этого соотношения можно выразить произведение $ah$:

$ah = \frac{S}{3}$

Цилиндр описан около призмы. Это означает, что высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h$, а основание призмы (правильный треугольник) вписано в основание цилиндра (окружность).

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ и его диаметр $D$.

Высота цилиндра $H = h$.

Диаметр основания цилиндра $D = 2R = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон:

$S_{сеч} = D \cdot H = \left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot h = \frac{2\sqrt{3}}{3}ah$

Теперь подставим в эту формулу ранее найденное выражение для $ah = \frac{S}{3}$:

$S_{сеч} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \left(\frac{S}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}S}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}S}{9}$