Номер 25, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 73.

Условие.

8.25. Основание призмы – равнобедренный треугольник с углом $α$ при основании. Диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, равна $m$ и наклонена к плоскости основания под углом $β$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC = BC$) с углом $\alpha$ при основании $AB$, то есть $\angle CAB = \angle CBA = \alpha$. Прямая призма предполагается, так как в нее можно вписать прямой круговой цилиндр.

Боковой гранью, проходящей через боковую сторону основания (например, $AC$), является прямоугольник $ACC_1A_1$. Диагональ этой грани, например $A_1C$, по условию равна $m$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания - это угол между диагональю $A_1C$ и ее проекцией $AC$ на плоскость основания. Таким образом, $\angle A_1CA = \beta$.

1. Нахождение высоты призмы и параметров основания

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1CA$. В нем гипотенуза $A_1C = m$, а катеты - это высота призмы $H = AA_1$ и боковая сторона основания $b = AC$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота призмы: $H = A_1C \cdot \sin(\beta) = m \sin(\beta)$.

Боковая сторона основания: $b = AC = A_1C \cdot \cos(\beta) = m \cos(\beta)$.

2. Нахождение радиуса вписанного цилиндра

Цилиндр, вписанный в призму, имеет ту же высоту $H$, что и призма. Основание цилиндра - это окружность, вписанная в треугольник $ABC$ в основании призмы. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, и будет радиусом цилиндра.

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника $ABC$. Проведем высоту $CD$ к основанию $AB$. Точка $D$ является серединой $AB$. Центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте $CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нем $AC = b = m \cos(\beta)$ и $\angle CAD = \alpha$. Найдем половину основания треугольника $ABC$:

$AD = AC \cdot \cos(\alpha) = m \cos(\beta) \cos(\alpha)$.

Поскольку центр вписанной окружности $I$ является точкой пересечения биссектрис, то $AI$ - биссектриса угла $A$. Следовательно, $\angle IAD = \alpha/2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADI$. Катет $ID$ - это и есть искомый радиус $r$.

$\tan(\angle IAD) = \frac{ID}{AD}$, откуда $r = ID = AD \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Подставляя найденное значение $AD$, получаем:

$r = m \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

3. Вычисление площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rH$.

Подставим найденные значения для $r$ и $H$:

$S_{бок} = 2\pi \cdot (m \cos(\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})) \cdot (m \sin(\beta))$

Сгруппируем множители:

$S_{бок} = 2\pi m^2 (\sin(\beta) \cos(\beta)) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$

Применим формулу синуса двойного угла $2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta)$:

$S_{бок} = \pi m^2 \sin(2\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $ \pi m^2 \sin(2\beta) \cos(\alpha) \tan(\frac{\alpha}{2}) $.