Номер 32, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 32, страница 74.

Условие.

трапеции.

8.32. Отрезок $CD$ – высота треугольника $ABC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 15$ см, $CD=12$ см. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник $BCD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB = 90^\circ$, а $CD$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$. Это означает, что $CD \perp AB$. Таким образом, треугольник $ACD$, образованный высотой, является прямоугольным.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем гипотенуза $AC = 15$ см, а катет $CD = 12$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $AD$:

$AD^2 + CD^2 = AC^2$

$AD^2 + 12^2 = 15^2$

$AD^2 + 144 = 225$

$AD^2 = 225 - 144 = 81$

$AD = \sqrt{81} = 9$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $CD^2 = AD \cdot BD$. Используем это свойство, чтобы найти длину отрезка $BD$.

$12^2 = 9 \cdot BD$

$144 = 9 \cdot BD$

$BD = \frac{144}{9} = 16$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Так как $CD$ — высота, то $\angle CDB = 90^\circ$, значит, треугольник $BCD$ — прямоугольный. Мы знаем длины его катетов: $CD = 12$ см и $BD = 16$ см. Найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = CD^2 + BD^2$

$BC^2 = 12^2 + 16^2$

$BC^2 = 144 + 256 = 400$

$BC = \sqrt{400} = 20$ см.

Задача состоит в том, чтобы найти длину окружности, вписанной в треугольник $BCD$. Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Для треугольника $BCD$ катеты равны $CD=12$ см и $BD=16$ см, а гипотенуза $BC=20$ см.

$r = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{28 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь можем найти длину вписанной окружности:

$L = 2\pi r = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см.

Ответ: $8\pi$ см.