Номер 12, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 8. Комбинации цилиндра и призмы. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 72.

Условие.

8.12. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника дана по условию и равна $d = 12$ см. Угол, который эта диагональ образует с плоскостью основания, равен углу между диагональю и стороной прямоугольника, лежащей в основании (эта сторона является диаметром основания цилиндра). Обозначим этот угол как $\alpha = 30°$.

Стороны прямоугольника осевого сечения – это высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$. Мы можем найти их, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный диагональю, диаметром и высотой.

Высота цилиндра $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha = 30°$:
$H = d \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Диаметр основания цилиндра $D$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha = 30°$:
$D = d \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы (правильный треугольник) вписано в окружность основания цилиндра.

Высота призмы $H_{призмы} = H = 6$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Этот радиус является радиусом окружности, описанной около правильного треугольника в основании призмы. Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$ соотношением: $a = R\sqrt{3}$.

Найдем сторону основания призмы:
$a = (3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H_{призмы}$, где $P_{осн}$ – периметр основания.

Периметр основания призмы (правильного треугольника):
$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 9 = 27$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = 27 \cdot 6 = 162$ см$^2$.

Ответ: $162 \text{ см}^2$.