Номер 4, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 77.

Условие.

9.4. Радиус основания конуса равен 2 см, а его осевое сечение – равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите высоту конуса и его образующую.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, сторонами которого являются две образующие и диаметр основания. По условию, это сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике катетами (равными сторонами) являются образующие конуса (обозначим их $L$), а гипотенузой — диаметр основания ($D$). Прямой угол находится при вершине конуса.

Радиус основания конуса по условию равен $R = 2$ см.

Диаметр основания равен двум радиусам: $D = 2R = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Высота конуса

Высота конуса $H$ является также высотой осевого сечения, опущенной из вершины на основание (диаметр). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. В свою очередь, в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, высота конуса равна половине диаметра:

$H = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Образующая конуса

Образующую $L$ найдем, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и самой образующей $L$, которая в этом треугольнике является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + R^2$

Подставляем известные значения $H=2$ см и $R=2$ см:

$L^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$L = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: высота конуса 2 см, образующая $2\sqrt{2}$ см.