Номер 7, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 77.

Условие.

9.7. Высота конуса равна $H$, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите площадь:

1) осевого сечения конуса;

2) боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $L$ — образующая. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha$.

Высота конуса $H$, его радиус $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $H$ и $R$ — катетами. Угол между образующей $L$ (гипотенузой) и радиусом $R$ (катетом, лежащим в плоскости основания) равен заданному углу $\alpha$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, выразим радиус $R$ и образующую $L$ через известные величины $H$ и $\alpha$:
Из $\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$ следует, что радиус основания $R = \frac{H}{\tan(\alpha)} = H \cot(\alpha)$.
Из $\sin(\alpha) = \frac{H}{L}$ следует, что образующая $L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$.

1) осевого сечения конуса

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а высота равна высоте конуса ($H$).
Площадь этого треугольника ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = R \cdot H$.
Подставим ранее найденное выражение для $R$:
$S_{сеч} = (H \cot(\alpha)) \cdot H = H^2 \cot(\alpha)$.
Ответ: $H^2 \cot(\alpha)$.

2) боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \pi R L$.
Подставим найденные выражения для $R$ и $L$:
$R = H \cot(\alpha)$ и $L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$.
$S_{бок} = \pi \cdot (H \cot(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\sin(\alpha)}\right) = \frac{\pi H^2 \cot(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
Так как $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, мы можем преобразовать выражение:
$S_{бок} = \pi H^2 \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{1}{\sin(\alpha)} = \frac{\pi H^2 \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.
Ответ: $\frac{\pi H^2 \cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.