Номер 13, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 78.

Условие.

Рис. 9.8

9.13. Точка $M$ – вершина конуса, точка $O$ – центр его основания, точка $A$ принадлежит основанию конуса, точка $B$ принадлежит отрезку $MO$ (рис. 9.8). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

9.12.

Пусть $H$ — высота конуса, $R$ — радиус его основания, а $L$ — длина образующей. По условию, $H = 4\sqrt{5}$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны образующей $L$, основание равно диаметру основания $2R$, а высота равна высоте конуса $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса ($H$), радиусом основания ($R$) и образующей ($L$). Катетами этого треугольника являются $H$ и $R$, а гипотенузой — $L$.

Пусть $O$ — центр основания, $M$ — вершина конуса, а $A$ — точка на окружности основания. Тогда $\triangle MOA$ — это упомянутый прямоугольный треугольник, где $MO=H$, $OA=R$ и $MA=L$. По теореме Пифагора, $L^2 = H^2 + R^2$.

Пусть $K$ — середина образующей $MA$. Расстояние от центра основания $O$ до середины образующей $K$ — это длина отрезка $OK$. По условию, $OK = 6$ см. В прямоугольном треугольнике $\triangle MOA$ отрезок $OK$ является медианой, проведенной к гипотенузе $MA$.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы: $OK = \frac{1}{2} MA = \frac{1}{2} L$

Подставим известные значения: $6 = \frac{1}{2} L$ Отсюда находим длину образующей: $L = 2 \times 6 = 12$ см.

Теперь мы можем найти радиус основания $R$, используя теорему Пифагора для $\triangle MOA$: $R^2 = L^2 - H^2$ $R^2 = 12^2 - (4\sqrt{5})^2 = 144 - 16 \times 5 = 144 - 80 = 64$ $R = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R+L)$

Подставляем найденные значения $R=8$ и $L=12$: $S_{полн} = \pi \times 8 \times (8 + 12) = 8\pi \times 20 = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².

9.13.

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью конуса воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

1. Проведем вспомогательную секущую плоскость $\alpha$ через прямую $AB$ и вершину конуса $M$. Поскольку точка $B$ лежит на оси конуса $MO$, эта плоскость будет содержать и ось $MO$. Таким образом, плоскость $\alpha$ определяется тремя точками: $M$, $A$ и $O$.

2. Найдем сечение конуса этой плоскостью. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, является равнобедренным треугольником. Основанием этого треугольника является диаметр основания конуса, проходящий через точку $A$. Построим этот диаметр: проведем прямую через точки $A$ и $O$ до пересечения с окружностью основания в точке $D$. Таким образом, $AD$ — диаметр основания.

3. Сечением конуса плоскостью $\alpha$ является треугольник $\triangle MAD$. Боковые стороны этого треугольника, $MA$ и $MD$, являются образующими конуса и лежат на его боковой поверхности.

4. Искомая точка пересечения прямой $AB$ с боковой поверхностью конуса должна лежать как на прямой $AB$, так и на боковой поверхности. Поскольку вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, искомая точка также должна лежать в этой плоскости, а значит — на линиях пересечения плоскости $\alpha$ с боковой поверхностью, то есть на образующих $MA$ или $MD$.

5. Прямая $AB$ пересекает образующую $MA$ в точке $A$, которая лежит на границе боковой поверхности (в основании). Чтобы найти другую точку пересечения, необходимо продолжить прямую $AB$ до пересечения с образующей $MD$. Так как прямые $AB$ и $MD$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и не параллельны (поскольку $B$ не лежит на образующей $MD$), они пересекаются в единственной точке.

6. Построим эту точку. Проведем прямую через точки $A$ и $B$. Точка пересечения этой прямой с отрезком $MD$ и будет искомой точкой. Обозначим ее $C$.

Ответ: Алгоритм построения искомой точки $C$ следующий:
1. Провести прямую через точку $A$ и центр основания $O$. Найти точку $D$ пересечения этой прямой с окружностью основания, так что $AD$ является диаметром.
2. Построить образующую $MD$.
3. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
4. Точка $C$, в которой пересекаются прямая $AB$ и образующая $MD$, является искомой точкой пересечения.