Номер 17, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 17, страница 78.

Условие.

9.17. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $60^\circ$, проведена плоскость, пересекающая основание конуса по хорде длиной 8 см, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $l$ — длина образующей, а $r$ — радиус основания. Плоскость, проходящая через две образующие $SA$ и $SB$, пересекает основание конуса по хорде $AB$.

Сечением конуса данной плоскостью является треугольник $SAB$. По условию, $SA$ и $SB$ — образующие конуса, следовательно, $SA = SB = l$. Угол между этими образующими равен $∠ASB = 60°$. Так как треугольник $SAB$ является равнобедренным с углом при вершине $60°$, он является равносторонним. Таким образом, все его стороны равны: $SA = SB = AB = l$.

Длина хорды $AB$ дана в условии и равна 8 см. Следовательно, длина образующей конуса $l = 8 \text{ см}$.

Рассмотрим основание конуса. В основании лежит окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Хорда $AB$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $90°$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $90°$, то есть $∠AOB = 90°$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами основания, поэтому $OA = OB = r$. Так как $∠AOB = 90°$, треугольник $AOB$ — прямоугольный и равнобедренный. Применим теорему Пифагора для треугольника $AOB$:
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
$r^2 + r^2 = 8^2$
$2r^2 = 64$
$r^2 = 32$
$r = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = \pi r l$. Подставим найденные значения $r = 4\sqrt{2} \text{ см}$ и $l = 8 \text{ см}$ в формулу:
$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $32\sqrt{2}\pi \text{ см}^2$.