Номер 23, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 79.

Условие.

9.23. Ромб со стороной 10 см и углом $60^\circ$ вращается вокруг прямой, содержащей одну из сторон ромба. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a = 10$ см и острым углом $\angle A = 60^\circ$. Вращение происходит вокруг прямой, содержащей сторону $AD$.

Тело вращения, которое образуется при вращении ромба, состоит из трех частей: центрального цилиндра и двух одинаковых конусов по его краям.

• Цилиндр образуется при вращении стороны $BC$, которая параллельна оси вращения $AD$.
• Один конус образуется при вращении стороны $AB$ вокруг оси $AD$ (вершина конуса в точке $A$).
• Второй конус образуется при вращении стороны $CD$ вокруг оси $AD$ (вершина конуса в точке $D$).

Площадь поверхности тела вращения будет равна сумме площадей боковых поверхностей этих трех фигур.

1. Найдем общие параметры для этих фигур.

Радиус оснований конусов и цилиндра, обозначим его $r$, равен высоте ромба. Опустим перпендикуляр из вершины $B$ на сторону $AD$. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - это сторона ромба $AB = a = 10$ см, а угол при вершине $A$ равен $60^\circ$.

Радиус $r$ равен:$r = a \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

2. Вычислим площади поверхностей.

Образующая каждого конуса $l$ равна стороне ромба: $l = a = 10$ см.

Площадь боковой поверхности одного конуса ($S_{к}$) вычисляется по формуле $S_{к} = \pi r l$.$S_{к} = \pi \cdot (5\sqrt{3}) \cdot 10 = 50\pi\sqrt{3}$ см².

Так как у нас два одинаковых конуса, их суммарная площадь боковой поверхности равна $2 \cdot S_{к} = 2 \cdot 50\pi\sqrt{3} = 100\pi\sqrt{3}$ см².

Высота цилиндра $h$ равна длине стороны $BC$, которая в свою очередь равна стороне ромба: $h = a = 10$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{ц}$) вычисляется по формуле $S_{ц} = 2\pi r h$.$S_{ц} = 2\pi \cdot (5\sqrt{3}) \cdot 10 = 100\pi\sqrt{3}$ см².

3. Найдем общую площадь поверхности тела вращения.

Общая площадь $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов и цилиндра:$S = 2 \cdot S_{к} + S_{ц} = 100\pi\sqrt{3} + 100\pi\sqrt{3} = 200\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $200\pi\sqrt{3}$ см².