Номер 16, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 78.

Условие.

9.16. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $\beta$ ($0^\circ < \beta < 180^\circ$). Найдите площадь образовавшегося сечения, если высота конуса равна $H$, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $S$ – вершина конуса, $O$ – центр его основания, а $SO = H$ – высота конуса. Плоскость сечения проходит через две образующие $SA$ и $SB$, где $A$ и $B$ – точки на окружности основания. Сечением является равнобедренный треугольник $SAB$.

Основание этого треугольника – хорда $AB$, которая стягивает дугу с градусной мерой $\beta$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = \beta$.

Площадь сечения (треугольника $SAB$) можно найти по формуле $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$, где $SM$ – высота треугольника $SAB$, проведенная к основанию $AB$ (и являющаяся медианой, так как $\triangle SAB$ равнобедренный).

Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания – это двугранный угол при ребре $AB$. Он измеряется линейным углом, образованным двумя перпендикулярами к ребру $AB$, проведенными в разных плоскостях из одной точки. Проведем $OM \perp AB$ в плоскости основания (так как $\triangle AOB$ равнобедренный, медиана $OM$ является и высотой). В плоскости сечения $SM \perp AB$ (так как $\triangle SAB$ равнобедренный). Следовательно, искомый линейный угол – это $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). В нем катет $SO=H$ и угол $\angle SMO = \alpha$. Найдем гипотенузу $SM$ и катет $OM$:
Из $\sin \alpha = \frac{SO}{SM}$ следует, что $SM = \frac{SO}{\sin \alpha} = \frac{H}{\sin \alpha}$.
Из $\tan \alpha = \frac{SO}{OM}$ следует, что $OM = \frac{SO}{\tan \alpha} = \frac{H}{\tan \alpha} = H \cot \alpha$.

Теперь рассмотрим плоскость основания конуса. В ней лежит равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ с боковыми сторонами $OA=OB=R$ (радиус основания) и углом при вершине $\angle AOB = \beta$. $OM$ – его высота, а значит и биссектриса, поэтому $\angle AOM = \frac{\beta}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Из него найдем половину хорды $AM$:
$\tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OM}$, откуда $AM = OM \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Подставим найденное ранее значение $OM$:
$AM = H \cot \alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Тогда длина всей хорды $AB = 2 \cdot AM = 2H \cot \alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления площади сечения $\triangle SAB$:
$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \left(2H \cot \alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{H}{\sin \alpha}\right)$.
$S_{\triangle SAB} = H^2 \cot \alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \frac{1}{\sin \alpha} = H^2 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \frac{1}{\sin \alpha} \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{H^2 \cos \alpha \tan(\beta/2)}{\sin^2 \alpha}$.

Ответ: $ \frac{H^2 \cos \alpha \tan(\beta/2)}{\sin^2 \alpha} $