Номер 11, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 77.

Условие.

9.11. Радиус основания конуса равен 15 см, а расстояние от центра основания до образующей конуса – 12 см. Найдите образующую и высоту конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$ и образующую как $L$. По условию дано, что $R = 15$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом $R$ (катеты) и образующей $L$ (гипотенуза). Для этого треугольника справедлива теорема Пифагора:$L^2 = H^2 + R^2$

Расстояние от центра основания до образующей — это высота $d$, проведенная из вершины прямого угла (центр основания) к гипотенузе $L$ (образующей). По условию, $d = 12$ см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов или как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.$S = \frac{1}{2} H \cdot R = \frac{1}{2} L \cdot d$Приравняв правые части, получим соотношение:$H \cdot R = L \cdot d$

Подставим известные значения $R=15$ см и $d=12$ см:$H \cdot 15 = L \cdot 12$Выразим высоту $H$ через образующую $L$:$H = \frac{12L}{15} = \frac{4}{5}L$

Теперь подставим это выражение для $H$ в уравнение теоремы Пифагора, используя известное значение $R=15$:$L^2 = (\frac{4}{5}L)^2 + 15^2$$L^2 = \frac{16}{25}L^2 + 225$$L^2 - \frac{16}{25}L^2 = 225$$\frac{25L^2 - 16L^2}{25} = 225$$\frac{9}{25}L^2 = 225$$L^2 = \frac{225 \cdot 25}{9} = 25 \cdot 25 = 625$$L = \sqrt{625} = 25$ см.

Зная длину образующей, найдем высоту конуса:$H = \frac{4}{5}L = \frac{4}{5} \cdot 25 = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Ответ: образующая конуса равна 25 см, а высота конуса — 20 см.