Номер 9, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 77.

Условие.

9.9. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а один из углов равен $30^\circ$, вращается вокруг большего катета. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого $c = 8$ см, а один из острых углов равен $30^\circ$. Тогда второй острый угол равен $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Найдем длины катетов этого треугольника. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Обозначим его $a$:

$a = c \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Второй катет, $b$, лежит напротив угла в $60^\circ$:

$b = c \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Сравним длины катетов, чтобы определить больший. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $4\sqrt{3} > 4$. Следовательно, больший катет равен $4\sqrt{3}$ см, а меньший – $4$ см.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. По условию, вращение происходит вокруг большего катета. В этом случае:

• Высотой конуса $h$ становится больший катет: $h = 4\sqrt{3}$ см.
• Радиусом основания конуса $r$ становится меньший катет: $r = 4$ см.
• Образующей конуса $l$ становится гипотенуза треугольника: $l = 8$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим значения радиуса $r$ и образующей $l$ в формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 8 = 32\pi$ см².

Ответ: $32\pi$ см².