Номер 12, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 78.

Условие.

9.12. Высота конуса равна $4\sqrt{5}$ см, а расстояние от центра основания до середины образующей конуса – 6 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим высоту конуса как $h$, радиус его основания как $r$, а длину образующей как $l$. По условию задачи дано:
Высота $h = 4\sqrt{5}$ см.
Расстояние от центра основания до середины образующей равно 6 см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике $h$ и $r$ являются катетами, а $l$ — гипотенузой. По теореме Пифагора они связаны соотношением: $l^2 = h^2 + r^2$.

Расстояние от центра основания до середины образующей — это длина медианы, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе в упомянутом прямоугольном треугольнике.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Обозначим длину этой медианы как $m$. Тогда:
$m = \frac{l}{2}$

По условию $m = 6$ см. Отсюда мы можем найти длину образующей $l$:
$6 = \frac{l}{2}$
$l = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь, зная высоту $h$ и образующую $l$, мы можем найти радиус основания $r$ по теореме Пифагора:
$r^2 = l^2 - h^2$
$r^2 = 12^2 - (4\sqrt{5})^2$
$r^2 = 144 - (16 \cdot 5)$
$r^2 = 144 - 80$
$r^2 = 64$
$r = \sqrt{64} = 8$ см.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.
Таким образом, формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r+l)$.

Подставим найденные значения $r = 8$ см и $l = 12$ см в формулу:
$S_{полн} = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 12)$
$S_{полн} = 8\pi \cdot 20$
$S_{полн} = 160\pi$ см².

Ответ: $160\pi$ см².