Номер 18, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 78.

Условие.

9.18. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг прямой, содержащей его гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы образуется тело вращения, которое состоит из двух конусов с общим основанием. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Даны катеты прямоугольного треугольника: $a = 5$ см и $b = 12$ см.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Образующими двух конусов, из которых состоит тело вращения, являются катеты исходного треугольника. Таким образом, $l_1 = a = 5$ см и $l_2 = b = 12$ см.

3. Радиус $r$ общего основания конусов равен высоте $h$, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab$ и $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ch$.
Приравнивая правые части, получаем: $ab = ch$. Отсюда находим высоту (радиус): $h = r = \frac{ab}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$ см.

4. Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi rl$. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.
Подставляем найденные значения: $S = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot (5 + 12) = \pi \cdot \frac{60}{13} \cdot 17 = \frac{1020\pi}{13}$ см².

Ответ: $\frac{1020\pi}{13}$ см².