Номер 24, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 79.

Условие.

9.24. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна меньшему основанию. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию задачи имеем:

• Меньшее основание $BC = 10$ см.
• Большее основание $AD = 26$ см.
• Боковая сторона $AB = CD = 10$ см (равна меньшему основанию).

Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание AD. Тело вращения, которое при этом образуется, состоит из центральной части — цилиндра, и двух одинаковых конусов по бокам.

Цилиндр образуется при вращении прямоугольника, образованного меньшим основанием и высотами, опущенными из его вершин на большее основание. Конусы образуются при вращении двух прямоугольных треугольников, образованных боковыми сторонами, высотами и частями большего основания.

Площадь поверхности тела вращения будет равна сумме площадей боковых поверхностей цилиндра и двух конусов.

1. Найдем высоту трапеции. Опустим высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобокая, то $AH = KD$. Четырехугольник HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см. Длина отрезков AH и KD равна: $AH = KD = \frac{AD - HK}{2} = \frac{26 - 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту BH, которая является катетом: $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ $BH = \sqrt{36} = 6$ см. Высота трапеции $h = 6$ см. Эта высота является радиусом оснований и цилиндра, и конусов ($r = h = 6$ см).

2. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Высота цилиндра равна длине меньшего основания трапеции: $H_{цил} = BC = 10$ см. Радиус основания цилиндра $r = 6$ см. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2 \pi r H_{цил} = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10 = 120 \pi$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности одного конуса. Радиус основания конуса $r = 6$ см. Образующая конуса равна боковой стороне трапеции: $l = AB = 10$ см. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{кон} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60 \pi$ см².

4. Найдем общую площадь поверхности тела вращения. Общая площадь поверхности состоит из площади боковой поверхности цилиндра и площадей боковых поверхностей двух одинаковых конусов: $S_{общ} = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон}$ $S_{общ} = 120 \pi + 2 \cdot 60 \pi = 120 \pi + 120 \pi = 240 \pi$ см².

Ответ: $240 \pi$ см².