Номер 27, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 79.

Условие.

9.27. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 5 см. Найдите центральный угол этого сектора, если высота конуса равна 4 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим образующую конуса как $l$, его высоту как $h$, радиус основания как $r$, а центральный угол сектора развёртки как $\alpha$.

По условию, развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 5 см. Радиус этого сектора равен образующей конуса, следовательно, $l = 5$ см. Высота конуса $h = 4$ см.

Образующая конуса $l$, его высота $h$ и радиус основания $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора можем найти радиус основания конуса: $l^2 = h^2 + r^2$ Отсюда: $r^2 = l^2 - h^2$ $r^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ $r = \sqrt{9} = 3$ см.

Длина дуги сектора, являющегося развёрткой боковой поверхности, равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания ($C$) вычисляется по формуле: $C = 2 \pi r$ Подставив значение радиуса основания $r=3$ см, получаем: $C = 2 \pi \cdot 3 = 6\pi$ см.

Длина дуги сектора ($L$) с центральным углом $\alpha$ и радиусом, равным образующей $l$, вычисляется по формуле: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi l$

Так как $L = C$, мы можем приравнять два выражения: $6\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi l$ Подставим значение $l=5$ см: $6\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi \cdot 5$ $6\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 10\pi$

Теперь решим это уравнение относительно $\alpha$. Сократим обе части на $10\pi$: $\frac{6}{10} = \frac{\alpha}{360^\circ}$ $0.6 = \frac{\alpha}{360^\circ}$ $\alpha = 0.6 \cdot 360^\circ$ $\alpha = 216^\circ$

Ответ: $216^\circ$.