Номер 33, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 33, страница 79.

Условие.

9.33. Отрезок $MK$ – средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, $AB = 15$ см, $AC = 14$ см, $BC = 13$ см. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $MK$. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон треугольника $ABC$ вокруг прямой $MK$.

Поскольку $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, то точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отсюда находим длины отрезков, которые будут являться образующими конусов:

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см;

$BK = KC = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$ см.

Для вычисления площадей поверхностей вращения необходимо найти радиус вращения $r$. Он равен расстоянию от вершин треугольника до оси вращения $MK$. Пусть $h_{B}$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$. Так как $MK$ — средняя линия, она делит высоту $h_{B}$ пополам. Следовательно, расстояние от вершины $B$ до прямой $MK$ и расстояние от прямой $AC$ до прямой $MK$ равны, и этот общий радиус вращения $r$ составляет $r = \frac{h_{B}}{2}$.

Найдем высоту $h_{B}$, предварительно вычислив площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона.Полупериметр $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = 21$ см.Площадь $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84$ см$^2$.

С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{B}$, откуда $84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_{B}$, что дает $h_{B} = 12$ см.Тогда радиус вращения $r = \frac{h_{B}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассчитаем площади поверхностей, образованных вращением каждой стороны треугольника:

1. Поверхность от вращения стороны $AC$. Так как отрезок $AC$ параллелен оси вращения $MK$, при его вращении образуется боковая поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $r=6$ см, а его образующая (высота) равна длине $AC=14$ см. Площадь этой поверхности:

$S_{AC} = 2 \pi r \cdot AC = 2 \pi \cdot 6 \cdot 14 = 168\pi$ см$^2$.

2. Поверхность от вращения стороны $AB$. Точка $M$ на отрезке $AB$ лежит на оси вращения. Поэтому при вращении отрезка $AB$ образуются два конуса с общей вершиной в точке $M$. Радиус оснований обоих конусов равен $r=6$ см, а образующие — $AM=7.5$ см и $MB=7.5$ см. Суммарная площадь их боковых поверхностей:

$S_{AB} = \pi r \cdot AM + \pi r \cdot MB = \pi \cdot 6 \cdot 7.5 + \pi \cdot 6 \cdot 7.5 = 45\pi + 45\pi = 90\pi$ см$^2$.

3. Поверхность от вращения стороны $BC$. Точка $K$ на отрезке $BC$ лежит на оси вращения. Аналогично, при вращении отрезка $BC$ образуются два конуса с общей вершиной в точке $K$. Радиус их оснований $r=6$ см, а образующие — $BK=6.5$ см и $KC=6.5$ см. Суммарная площадь их боковых поверхностей:

$S_{BC} = \pi r \cdot BK + \pi r \cdot KC = \pi \cdot 6 \cdot 6.5 + \pi \cdot 6 \cdot 6.5 = 39\pi + 39\pi = 78\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей этих трех поверхностей:

$S_{пов} = S_{AC} + S_{AB} + S_{BC} = 168\pi + 90\pi + 78\pi = 336\pi$ см$^2$.

Ответ: $336\pi$ см$^2$.