Номер 35, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 35, страница 80.

Условие.

9.35. Отрезки $AD$ и $CE$ – медианы треугольника $ABC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 8\sqrt{5}$ см, $BC = 6\sqrt{5}$ см и $AD \perp CE$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $AD$ и $CE$ – медианы треугольника $ABC$, которые пересекаются в точке $O$. По условию задачи, медианы перпендикулярны, то есть $AD \perp CE$, а значит $\angle AOC = 90^\circ$.

По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом:$AO : OD = 2 : 1$$CO : OE = 2 : 1$

Так как $AD$ и $CE$ – медианы, то точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Найдем длины отрезков $CD$ и $AE$:$CD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ см.
$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см.

Поскольку медианы перпендикулярны, треугольники $\triangle AOE$ и $\triangle COD$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $O$). Применим к ним теорему Пифагора.

Пусть $OD = x$ и $OE = y$. Тогда, исходя из свойства медиан, $AO = 2x$ и $CO = 2y$.

Для прямоугольного треугольника $\triangle AOE$ запишем:$AO^2 + OE^2 = AE^2$
$(2x)^2 + y^2 = (4\sqrt{5})^2$
$4x^2 + y^2 = 16 \cdot 5 = 80$

Для прямоугольного треугольника $\triangle COD$ запишем:$CO^2 + OD^2 = CD^2$
$(2y)^2 + x^2 = (3\sqrt{5})^2$
$4y^2 + x^2 = 9 \cdot 5 = 45$

Мы получили систему двух уравнений:$\begin{cases} 4x^2 + y^2 = 80 \\ x^2 + 4y^2 = 45 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:$(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 80 + 45$
$5x^2 + 5y^2 = 125$
$5(x^2 + y^2) = 125$
$x^2 + y^2 = 25$

Теперь найдем искомую сторону $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOC$ (угол $\angle AOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$AC^2 = AO^2 + CO^2$

Подставим $AO = 2x$ и $CO = 2y$:$AC^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Мы уже вычислили, что $x^2 + y^2 = 25$. Подставим это значение в формулу для $AC^2$:$AC^2 = 4 \cdot 25 = 100$
$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.