Номер 34, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 34, страница 79.

Условие.

9.34. Отрезок $EF$ – средняя линия трапеции $ABCD$, в которой $BC \parallel AD$, $AB = BC = CD = a$, $AD = 2a$. Данная трапеция вращается вокруг прямой $EF$. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 3.

Дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$ и боковые стороны $AB=CD$. По условию $AB = BC = CD = a$ и $AD = 2a$. Это равнобедренная трапеция.

1. Найдем высоту трапеции.Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, $AH = KD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = a$.Длина отрезка $AH$ равна:$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$:$h^2 = AB^2 - AH^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.Отсюда высота трапеции $h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Определим параметры тела вращения.Трапеция вращается вокруг своей средней линии $EF$. Средняя линия параллельна основаниям и равноудалена от них. Расстояние от оснований $BC$ и $AD$ до оси вращения $EF$ одинаково и равно половине высоты трапеции:$r = \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Площадь поверхности тела вращения — это сумма площадей поверхностей, образованных вращением каждой из четырех сторон трапеции: $S = S_{BC} + S_{AD} + S_{AB} + S_{CD}$.

3. Рассчитаем площадь каждой части поверхности.

• При вращении верхнего основания $BC$ образуется боковая поверхность цилиндра с радиусом $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ и высотой, равной длине $BC=a$.$S_{BC} = 2\pi r \cdot BC = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$.
• При вращении нижнего основания $AD$ образуется боковая поверхность цилиндра с радиусом $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ и высотой, равной длине $AD=2a$.$S_{AD} = 2\pi r \cdot AD = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \pi a^2\sqrt{3}$.
• При вращении боковой стороны $AB$ (и $CD$) образуется более сложная поверхность. Точка $E$, середина $AB$, лежит на оси вращения $EF$. Таким образом, при вращении отрезка $AB$ образуется поверхность, состоящая из двух одинаковых конусов с общей вершиной в точке $E$. Радиусы оснований этих конусов равны расстоянию от точек $A$ и $B$ до оси вращения, то есть $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. Образующая каждого конуса равна половине длины $AB$, то есть $L = \frac{a}{2}$.Площадь боковой поверхности одного такого конуса равна $\pi r L = \pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a}{2} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{8}$.Поскольку вращение отрезка $AB$ образует два таких конуса, то $S_{AB} = 2 \cdot \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$.
• Так как трапеция равнобедренная, $S_{CD} = S_{AB} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$.

4. Найдем полную площадь поверхности.Суммируем площади всех частей:$S = S_{BC} + S_{AD} + S_{AB} + S_{CD} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{4}$.$S = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{2\pi a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2} + \pi a^2\sqrt{3} + \frac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}$.$S = \left(\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}\right)\pi a^2\sqrt{3} = 2\pi a^2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\pi a^2\sqrt{3}$.