Номер 4, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 83.

Условие.

4. По какой формуле вычисляют площадь боковой поверхности усечённого конуса?

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса — это площадь его изогнутой боковой стороны, без учёта площади верхнего и нижнего оснований. Она вычисляется как произведение полусуммы длин окружностей его оснований на длину образующей.

Для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса используется следующая формула:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

где $S_{бок}$ — искомая площадь боковой поверхности; $R$ — радиус большего (нижнего) основания; $r$ — радиус меньшего (верхнего) основания; $l$ — длина образующей усечённого конуса (расстояние между соответствующими точками окружностей оснований по боковой поверхности).

Вывод формулы

Площадь боковой поверхности усечённого конуса можно представить как разность площадей боковых поверхностей двух конусов: исходного полного конуса, из которого был получен усечённый, и малого конуса, который был отсечён от его вершины.

Пусть $L$ — образующая полного конуса с радиусом основания $R$, а $L_1$ — образующая отсечённого малого конуса с радиусом основания $r$. Тогда образующая усечённого конуса будет равна $l = L - L_1$.

Площадь боковой поверхности полного конуса равна $S_{полн} = \pi RL$.
Площадь боковой поверхности малого конуса равна $S_{мал} = \pi rL_1$.

Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса:

$S_{бок} = S_{полн} - S_{мал} = \pi RL - \pi rL_1$

В осевом сечении конусов образуются два подобных прямоугольных треугольника. Из их подобия следует соотношение:

$\frac{L}{R} = \frac{L_1}{r}$

Из этой пропорции выразим $L_1 = \frac{rL}{R}$. Подставим это в формулу для образующей усечённого конуса $l = L - L_1$:

$l = L - \frac{rL}{R} = L(1 - \frac{r}{R}) = L\frac{R-r}{R}$

Отсюда можно выразить образующую большого конуса $L$ через образующую усечённого конуса $l$:

$L = \frac{lR}{R-r}$

Аналогично найдём $L_1$:

$L_1 = L - l = \frac{lR}{R-r} - l = \frac{lR - l(R-r)}{R-r} = \frac{lR - lR + lr}{R-r} = \frac{lr}{R-r}$

Теперь подставим полученные выражения для $L$ и $L_1$ в формулу площади $S_{бок}$:

$S_{бок} = \pi R \left( \frac{lR}{R-r} \right) - \pi r \left( \frac{lr}{R-r} \right) = \frac{\pi l R^2 - \pi l r^2}{R-r} = \frac{\pi l (R^2 - r^2)}{R-r}$

Применив формулу разности квадратов $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$, сократим дробь:

$S_{бок} = \frac{\pi l (R-r)(R+r)}{R-r} = \pi(R+r)l$

Таким образом, формула для вычисления площади боковой поверхности усечённого конуса доказана.

Ответ: $S_{бок} = \pi(R + r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.