Номер 5, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 83.

Условие.

10.5. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 см и 8 см, а образующая – 13 см. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований усечённого конуса, а боковыми сторонами — его образующие.

По условию задачи, радиусы оснований равны $r_1 = 3$ см и $r_2 = 8$ см, а образующая $l = 13$ см.

Найдём длины оснований трапеции. Они равны диаметрам оснований конуса:

• Меньшее основание трапеции: $a = 2r_1 = 2 \cdot 3 = 6$ см.
• Большее основание трапеции: $b = 2r_2 = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Боковые стороны трапеции равны образующей конуса: $l = 13$ см.

Для вычисления площади трапеции необходимо знать её высоту $h$. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это образующая $l$, а другой катет — это отрезок, равный полуразности оснований трапеции.

Найдём длину этого катета:$k = \frac{b - a}{2} = \frac{16 - 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора ($l^2 = h^2 + k^2$), найдём высоту трапеции $h$:$h^2 = l^2 - k^2$$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения в формулу:$S = \frac{6 + 16}{2} \cdot 12 = \frac{22}{2} \cdot 12 = 11 \cdot 12 = 132$ см$^2$.

Ответ: 132 см$^2$.