Номер 10, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 84.

Условие.

10.10. Высота конуса равна $h$. На каком расстоянии от вершины конуса следует провести плоскость, перпендикулярную высоте конуса, чтобы площадь образовавшегося сечения конуса была в 3 раза меньше площади его основания?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H = h$ — высота исходного конуса, а $R$ — радиус его основания. Площадь основания конуса, $S_{осн}$, вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$.

Плоскость, перпендикулярная высоте, отсекает от исходного конуса меньший конус. Обозначим искомое расстояние от вершины до плоскости сечения как $h_1$. Эта величина является высотой меньшего конуса. Пусть $r$ — радиус основания этого меньшего конуса (то есть радиус сечения).

Площадь сечения, $S_{сеч}$, равна $S_{сеч} = \pi r^2$.

Согласно условию задачи, площадь сечения в 3 раза меньше площади основания: $S_{сеч} = \frac{S_{осн}}{3}$

Подставим выражения для площадей в это соотношение: $\pi r^2 = \frac{\pi R^2}{3}$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим: $r^2 = \frac{R^2}{3}$

Отсюда находим отношение квадратов радиусов и самих радиусов: $\frac{R^2}{r^2} = 3 \Rightarrow \frac{R}{r} = \sqrt{3}$

Меньший конус, отсекаемый плоскостью, подобен исходному конусу. Осевое сечение конусов представляет собой два подобных равнобедренных треугольника. Отношение их соответственных линейных размеров (высот и радиусов оснований) равно коэффициенту подобия: $\frac{H}{h_1} = \frac{R}{r}$

Так как мы уже установили, что $\frac{R}{r} = \sqrt{3}$, то: $\frac{H}{h_1} = \sqrt{3}$

Подставим известное значение высоты исходного конуса $H = h$ и выразим искомое расстояние $h_1$: $\frac{h}{h_1} = \sqrt{3}$ $h_1 = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $h_1 = \frac{h \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{3}$

Следовательно, плоскость следует провести на расстоянии $\frac{h\sqrt{3}}{3}$ от вершины конуса.

Ответ: $\frac{h\sqrt{3}}{3}$