Номер 9, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 84.

Условие.

10.9. Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию конуса. Найдите площадь наибольшего из образовавшихся сечений конуса, если площадь его основания равна $S$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $R$ — радиус его основания. Площадь основания конуса по условию равна $S$, то есть $S = \pi R^2$.
Высоту конуса разделили на 4 равных отрезка. Это означает, что на высоте есть 3 точки деления. Через эти точки проведены плоскости, параллельные основанию. Каждая такая плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Основание каждого такого отсеченного конуса и является искомым сечением.
Высоты этих отсеченных конусов, отсчитываемые от общей вершины, равны:
$h_1 = \frac{1}{4}H$
$h_2 = \frac{2}{4}H = \frac{1}{2}H$
$h_3 = \frac{3}{4}H$
Отношение площади сечения ($S_{сеч}$) к площади основания ($S$) равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению высот малого (отсеченного) конуса $h$ к высоте исходного конуса $H$. Таким образом, формула для площади сечения:
$S_{сеч} = S \cdot k^2 = S \cdot (\frac{h}{H})^2$
Теперь найдем площади каждого из трех сечений ($S_1$, $S_2$ и $S_3$), соответствующих высотам $h_1$, $h_2$ и $h_3$.
1. Площадь первого сечения (ближайшего к вершине), соответствующего высоте $h_1 = \frac{1}{4}H$:
$S_1 = S \cdot (\frac{h_1}{H})^2 = S \cdot (\frac{\frac{1}{4}H}{H})^2 = S \cdot (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}S$.
2. Площадь второго сечения, соответствующего высоте $h_2 = \frac{2}{4}H$:
$S_2 = S \cdot (\frac{h_2}{H})^2 = S \cdot (\frac{\frac{2}{4}H}{H})^2 = S \cdot (\frac{2}{4})^2 = S \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}S$.
3. Площадь третьего сечения (самого дальнего от вершины), соответствующего высоте $h_3 = \frac{3}{4}H$:
$S_3 = S \cdot (\frac{h_3}{H})^2 = S \cdot (\frac{\frac{3}{4}H}{H})^2 = S \cdot (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}S$.
Наибольшее из образовавшихся сечений — то, у которого наибольшая площадь. Сравним полученные значения: $S_1 = \frac{1}{16}S$, $S_2 = \frac{1}{4}S = \frac{4}{16}S$ и $S_3 = \frac{9}{16}S$.
Так как $\frac{1}{16} < \frac{4}{16} < \frac{9}{16}$, то наибольшей площадью является $S_3$. Это сечение находится дальше всего от вершины и ближе всего к основанию.
Ответ: $\frac{9}{16}S$.