Номер 14, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 84.

Условие.

10.14. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 15 см, а диагональ осевого сечения – $4\sqrt{61}$ см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади боковой поверхности усечённого конуса используется формула: $S_{бок} = \pi (R + r) l$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ – длина образующей конуса.

По условию задачи даны радиусы оснований: $R = 15$ см и $r = 5$ см. Необходимо найти образующую $l$.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию, основания которой равны диаметрам оснований конуса ($2R = 30$ см и $2r = 10$ см), боковые стороны равны образующей $l$, а высота равна высоте конуса $h$. Диагональ этой трапеции по условию равна $d = 4\sqrt{61}$ см.

Чтобы найти образующую, сначала найдём высоту конуса $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции $d$, высотой $h$ и частью большего основания. Длина этой части основания (катета) равна сумме радиусов $R+r$.

По теореме Пифагора: $d^2 = h^2 + (R+r)^2$.
Подставим известные значения, чтобы найти $h$:
$(4\sqrt{61})^2 = h^2 + (15+5)^2$
$16 \cdot 61 = h^2 + 20^2$
$976 = h^2 + 400$
$h^2 = 976 - 400 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь мы можем найти образующую $l$. Образующая является гипотенузой другого прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $R-r$.

Снова применим теорему Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.
Подставим известные значения:
$l^2 = 24^2 + (15-5)^2$
$l^2 = 576 + 10^2$
$l^2 = 576 + 100 = 676$
$l = \sqrt{676} = 26$ см.

Теперь, зная все необходимые величины, вычислим площадь боковой поверхности усечённого конуса:
$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (15 + 5) \cdot 26 = \pi \cdot 20 \cdot 26 = 520\pi$ см².

Ответ: $520\pi$ см².